麦考利久期的计算公式展开，麦考利久期的计算公式的含义

麦考利久期是用来衡量债券价格对利率变动的敏感程度，其计算公式展开为：麦考利久期=∑[CFt*t/(1+y)^t]/∑[CFt/(1+y)^t]，其中CFt为每期现金流量，t为第t期，y为债券的收益率。该公式实际上是对每期现金流乘以相应时期的平均时间进行加权平均。

一：麦考利久期的计算公式展开

P是债券未来第t期现金流(利息和本金)的现值。
其计算公式为： [*] (5-20) 式中，D是麦考利久期，B是债券当前的市场价格，P是债券未来第t期现金流(利息和本金)的现值，T是债券的到期时间。
麦考利根据债券的每次息票利息和本金支付时间的的加权平均来计算久期，称为麦考利久期(MACAULAY'S DURATION)。

二：麦考利久期的计算公式的含义

久期对于很多人来说并不陌生，因为它时常会被用于计算债券的价值。那么你会计算它吗？它的计算公式是什么样呢？请往下看。

久期计算公式是什么？

如果市场利率是Y，现金流（X1,X2,...,Xn）的麦考利久期定义为：D(Y)=[1*X1/(1+Y)^1+2*X2/(1+Y)^2+...+n*Xn/(1+Y)^n]/[X0+x1/(1+Y)^1+X2/(1+Y)^2+...+Xn/(1+Y)^n]，即 D=(1*PVx1+...n*PVxn)/PVx。其中，PVXi表示第i期现金流的现值，D表示久期。因此久期是一种测度债券发生现金流的平均期限的 *** 。

由于债券价格敏感性会随着到期时间的增长而增加，久期也可用来测度债券对利率变化的敏感性，根据债券的每次息票利息或本金支付时间的加权平均来计算久期。值得注意的是，久期目前是世界上运用最广的债券计算方式，因而它也有一些相关的定理：

【1】只有零息债券的马考勒久期等于它们的到期时间。

【2】直接债券的马考勒久期小于或等于它们的到期时间。

【3】统一公债的马考勒久期等于（1+1/y），其中y是计算现值采用的贴现率。

【4】在到期时间相同的条件下，息票率越高，久期越短。

【5】在息票率不变的条件下，到期时间越久，久期一般也越长。

【6】在其他条件不变的情况下，债券的到期收益率越低，久期越长。

综上所述，这就是久期有关的计算方式及其相关定理。

三：麦考利久期计算公式举例

麦考利久期是由F.R.Macaulay在1938年提出的。他用现金流的平均回流时间来衡量债券风险，并将它定义为久期。

一般来说，Duration(久期)与Maturity(到期时间)呈正相关，到期时间越长，久期越大。但是，实证研究发现，Mac.D随着时间变化的图形是不连续的，在图形上呈现出一种“锯齿形”。

（Coupon rate=8%, YTM=7%, 半年付息一次）

我们可能会对这个图像的成因产生一些疑问：

1. 为什么付息日会发生突变？

2. 在突变点之间，Mac.D与Maturity是否为线性关系？

3. 久期突变的幅度受到哪些因素的影响？

为什么付息日Mac.D会发生突变？

假设目前t=0；债券的付息频率是τ（如果每年付息一次，τ=1；如果每半年付息一次，τ=1/2；如果每季度付息一次，τ=1/4）；距离到期还有n次付息，最后一期归还本金；每一期的现金流为CFi（i=1,2,3……,n）。

在已经购买债券一段时间，但是第一期现金流还未支付时（t=0时刻），现金流量图如下：

令Mac.D = f(t)，可得：

在已经支付第一期现金流，但第二期现金流还未支付时（t=0时刻），现金流量图如下：

令Mac.D = f(t)，得到，

同理，我们可以整理出Mac.D-Maturity图像的完整数学表达式：

从表达式可以看出，久期和到期期限的函数是一个分段函数，而且分段点正好是付息日。这个分段函数在每一个分段点是不连续的，我们来对他进行数学上的证明。

分(n-1)τ<t<=nτ和(n-2)τ<t<=(n-1)τ两段函数进行研究。

证明：

当(n-1)τ<t<=nτ时，令：

得：

当(n-2)τ<t<=(n-1)τ时，令：

得：

我们将间断点左右两边的值相减，如果A-B等于0，就表示该点不间断；如果A-B不等于0，则该点就是一个间断点。

我们算出：

最后一步的判断，除了数学的 *** ，我们还可以用更形象的 *** 去解释。把减式的左边想象成一杯糖水，所以减式的右边等价于从左边这杯糖水中抽去一份糖水（上下同时减去一个数）。由于(n-1)τ【分子上减去的数值的系数】>(n-i)τ【减式左边分子的系数】，分子更大，说明抽去的这份糖水浓度更高。由于抽去了一份浓度更高的糖水，所以减式右边必定小于减式左边，A-B>0。

函数在t=(n-1)τ这点上的左极限不等于右极限，函数在这一点不连续不可导。同理可以证明在每一个分段点函数都不连续。

在每一个债券付息日，债券久期都会突然变大使得债券久期与到期函数在表现形式上不连续。

突变点之间，Mac.D与Maturity是否为线性关系？

对于每一段分段函数，以下式为例。

可得

。所以在每两次突变发生中间，Mac.D与到期时间呈现的是一种完全正相关关系，在图形上表现为一条斜率为1的直线。

久期突变的幅度受到哪些因素的影响？

突变量并不是相等的，突变量的大小受到现金流（CFi），息票率（影响现金流），利率（y），到期时间（n），付息频率（τ）等的影响。

令突变大小为Δλi(i=1,2,3…,n-1)。以第一次突变为例，由上面的证明可以得到，

1. n和τ与Δλ1成正相关。从抽掉的浓糖水的角度：抽掉的糖水越浓，糖水浓度下降越大，Δλ1越大。也就是说，(n-1)τ越大，Δλ1越大。

2. 息票率和y与Δλ1成正相关。从原来糖水的角度：原来的糖水越淡，抽掉一份相同浓糖水后糖水浓度变化越大，Δλ1越大。也就是说，一切使久期变小的因素都会使突变量变大。

3. 在其他条件保持不变的基础上，突变量会随着到期时间的增加而增加。从图像看，锯齿突出的部分随着到期时间的增加而变大。